Quand Schrödinger a mis au point l'équation portant son nom, la fonction qui en était solution dans les cas simples ressemblait effectivement à une fonction d'onde classique. Mais dès qu'il a fallu l'appliquer à un ensemble de q-particules, il est vite apparu que ce n'était pas la bonne interprétation et Born l'a redéfini comme une fonction représentant une probabilité (via en fait son carré complexe).
Par la suite le développement de la mécanique quantique a montré que les objets quantiques pouvait être définis par un vecteur d'état d'un espace de Hilbert. Suivant la représentation utilisée (projection du vecteur d'état sur une base), on pouvait faire apparaitre des fonctions de l'espace géométrique mais aussi des fonctions de l'espace des impulsions ou autres. L'équation de Schrödinger est en fait une équation entre opérateurs projetée sur la base de l'espace géométrique. L'avantage de cette équation projetée ainsi est qu'elle donne une équation différentielle que l'on sait résoudre au moins via des approximations. La fonction qui apparait n'a en fait aucun lien avec une fonction d'onde c'est tout simplement une fonction de probabilités.
Il est très bizarre que cet artefact de calcul est gardé ce nom particulièrement inapproprié d'où découle des bizarreries qui ne devraient plus exister telles que : "la q-particule interfère avec elle même" ou "est à la fois onde et particule" (dans le sens classique de ces termes).
L'expérience dite des fentes d'Young n'a rien arrangé à l'affaire. Introduite par Feynman dans son fameux cours alors qu'à l'époque l'expérience n'avait jamais été réalisée avec des objets quantiques autres que des photons, l'analogie avec la théorie classique a renforcé cette croyance en une pseudo-fonction d'onde.
Depuis, je suis étonné que rien n'est changé. La fonction dont il est question est un artefact créé lors de la projection d'un vecteur d'état sur une base spécifique (l'espace géométrique). Elle décrit via son carré complexe des probabilités et c'est tout, c'est une fonction de probabilités rattachée à la représentation mathématique de l'état du système. Elle peut donc comme toute fonction de probabilités être réduite instantanément dès qu'une observation donne une information sur l'objet quantique observé, rien d'extraordinaire dans ce cas.