Pour compléter mon billet, je vais appliquer ses arguments à l'étude détaillée de l'expérience des fentes d'Young avec cavités résonnantes.

La source émet des atomes dans un état excité. Ces atomes sont susceptibles de passer entre 2 fentes situés dans un premier écran. S'ils ne passent pas par une des fentes ils sont arrêtés. Chacune des fentes est suivi d'une cavité résonnante accordée ou pas. Lorsque la cavité résonnante est accordée, l'atome revient à son état fondamental en émettant un photon. On suppose que l'atome ne peut pas spontanément revenir à son état initial lors de son trajet entre la source et un deuxième écran qui sert de récepteur. On suppose que la durée du trajet entre la source et l'une des fentes est suffisamment courte pour que le déphasage introduit soit négligeable. La distance entre les 2 fentes est égale à d, la distance entre les 2 écrans à D.

Le problème étant posé clairement, je constate tout d'abord qu'il est irrésoluble si je veux prendre en compte toutes les interactions subies par les atomes. Par contre, je peux attribuer à un atome une propriété contextuelle qui est de passer par une des fentes disons la fente a et d'arriver à un point situé en x sur l'écran. L'application de l'équation de Schrödinger déduite de mon premier principe "la mécanique quantique est une théorie probabiliste dont les probabilités sont issues d'une fonction probabiliste complexe" (voir mon billet correspondant) me donne immédiatement à un coefficient numérique près l'état : f(t,ra) = exp ( - i (2 Pi) ((E/h) t - ra/l) avec des notations évidentes, E est l'énergie et l l'équivalent d'une longueur d'onde (voir nota 1). Comme il n'y a pas de champ magnétique, le spin n'intervient pas et comme les vitesses sont faibles, il n'y a pas lieu d'utiliser une équation relativiste mais cela serait possible. De plus, je dois tenir compte de l'état de ma cavité en a. Si elle est désaccordée l'état atome + cavité s'écrit : |e> |0a>, si elle est accordée l'état devient : |f> |1a> si l'atome passe par a, avec les notations évidentes, e = atome excité et 0a = pas de photon émis, f = atome dans l'état fondamental et 1a = un photon émis. Chacun des états est normalisé et ils sont orthogonaux entre eux (e avec f et 0a avec 1a). Les écritures sont identiques si l'atome passe par b mais avec l'indice b.

Maintenant, il est temps de raconter une histoire. Un atome a été émis par la source et est arrivé en x (on notera qu'en x on ne voit pas un point mais une tâche qui correspond à l'interaction de l'atome avec plusieurs atomes du deuxième écran).

Si les cavités sont désaccordées, l'atome reste dans l'état excité. La probabilité d'arriver en x de l'atome s'écrit alors : P(x) = (1/cte) (f*(t,ra) <e| <0a| <0b| + f*(t,rb) <e| <0a| <0b| ) (f(t,ra) |e> |0a> |0b> + f(t,rb) |e> |0a> |0b>). En supposant que les états ont été correctement normalisés (ce n'est pas le cas), on obtient en simplifiant : P(x) = (1/cte) (2 + f*(t,ra) f(t,rb) + f*(t,rb) f(t,ra)) = (2/cte) (1 + cos(2 Pi (d/D) (x/l))) car |ra - rb| = (d/D) x (voir nota 2). Formule qui montre que la probabilité d'arriver d'un atome en x dépend à la fois du rapport entre x et la longueur d'onde donc l'énergie d'émission de l'atome et du rapport entre la distance entre les fentes et la distance entre les écrans, tout cela étant les paramètres modulo 2 Pi d'une fonction cosinus. C'est donc à travers ce terme qu'apparaissent les "interférences" dans la mesure où une myriade d'atomes est émise par la source. Le concept d'un atome qui interfère avec lui-même est donc une absurdité absolue. Les espacements entre les franges "d'interférences" dépendent du rapport entre d/D et de la longueur d'onde.

Si les cavités sont accordés, alors la cavité a ou la cavité b va mettre l'atome dans son état fondamental et donc la probabilité d'arriver en x de l'atome s'écrit alors en supposant que ce soit la cavité a : P(x) = (1/cte) (f*(t,ra) <f| <1a| <0b| + f*(t,rb) <e| <1a| <0b| ) (f(t,ra) |f> |1a> |0b> + f(t,rb) |e> |1a> |0b>). En faisant toujours les mêmes suppositions sur la normalisation des états, on obtient : P(x) = 1 car les termes qui ont donné le cosinus disparaissent à cause de l'orthogonalité de e avec f, la probabilité est donc indépendante de x. Lorsque une myriade d'atomes est émise par la source il n'y a plus "d'interférences".

Toutefois, même si ces calculs illustrent bien le phénomène, leur limite saute aux yeux. Il est évident que l'on ne va pas trouver des atomes arrivant en moyenne un peu partout sur le deuxième écran. Dans les 2 cas, les atomes arrivent préférentiellement au centre et s'il y a des "interférences" elles sont plus intenses au centre et leur intensité diminue lorsque l'on s'en éloigne. Dans les 2 cas, on peut englober la probabilité P(x) dans une fonction gaussienne centrée qui va définir l'intensité avec laquelle les atomes vont arriver sur le deuxième écran mais dans ce cas il faudra tenir compte d'effet supplémentaire par exemple des effets de "diffraction" lors du passage de l'atome par une des fentes. Ceci explique d'ailleurs pourquoi les "interférences" sont difficiles à obtenir car le rôle joué par le rapport d/D et la longueur d'onde doivent s'accorder avec cette fonction gaussienne.

En conclusion, les arguments de notre billet nous ont permis de faire un calcul simple, via des histoires, qui illustre bien le résultat de l'expérience. On est donc passé d'un calcul infaisable à un calcul élémentaire grâce à nos histoires. C'est une vertu incroyable que possède la mécanique quantique. Toutefois, il faut bien comprendre d'où vient cette vertu et notre interprétation l'explicite clairement car c'est tout de même "l'arbre qui cache la forêt" et une mauvaise interprétation peut conduire facilement à des absurdités.

Nota 1 : Dans notre cas, l'équation de Schrödinger non relativiste s'écrit :

i (h/2Pi) (df/dt) = - ((h/2Pi)²/2m) (df/dr)

les dérivées étant en fait des dérivées partielles. L'équation différentielle se résout par séparation des variables t et r. On fait alors apparaitre une constante E qui est l'énergie de l'atome libre (énergie cinétique), puis une longueur l assimilable à une longueur d'onde qui est égale à :

l = (1/h) (2mE)(*1/2)

Nota 2 : La probabilité est indépendante du temps. Les facteurs exp( - i (2 Pi) ((E/h) t) ont été réduits à la valeur 1 par les produits complexes des fonctions. La valeur de |ra - rb| vient d'une approximation prenant en compte le fait que D >> d et D >> x et en utilisant la formule :

|ra - rb| = (D² + (x + d/2)²)(*1/2) - (D² + (x - d/2)²)(*1/2)