Physique_et_autres

J'ai fait plusieurs billets sur la gravité émergente concluant que la gravité devait provenir d'une ou de plusieurs caractéristiques de la mécanique quantique. L'une de ses caractéristiques majeures est le phénomène d'intrication et j'ai essayé d'expliquer comment à partir de ce phénomène caractéristique on pouvait définir une gravité émergente. L'autre caractéristique majeure de la mécanique quantique est le fait que le vide fluctue via "le principe d'incertitude d'Heisenberg". Ces fluctuations donnent lieu à des impacts directs sur les propriétés de la matière et sont parfaitement mesurables (effet Lamb, moment magnétique anomal de l'électron, etc). Peut-on donc faire émerger la gravité des fluctuations du vide ?

Tout d'abord, est-ce que ces fluctuations permettent de dire que le vide "pèse", c'est à dire que l'énergie moyenne du vide n'est pas nulle ? Des expériences en cours veulent justement faire cette mesure, espérons qu'elles n'utilisent pas une balance de Roberval. Des physiciens théoriciens ont essayé de prouver que la constante cosmologique des équations d'Einstein provenait de l'énergie du vide mais les valeurs trouvées sont sans commune mesure avec la valeur de la constante cosmologique. Un calcul relativement simple montre pourtant que l'énergie du vide est nulle. En effet l'impact des termes fermioniques annule tout simplement l'impact des termes bosoniques dans le cas de particules de masse nulle. Comme les fluctuations du vide produisent des particules uniquement virtuelles on peut considérer que ces particules ne sont pas soumises au champ de Higgs donc restent sans masse. Reste le cas de la masse des neutrinos sauf si l'on ferme le modèle standard en introduisant 3 neutrinos dextrogyres ce qui a l'avantage d'avoir de très bons candidats pour la matière noire mais aussi explique pourquoi on ne constate pas de présence significative d'antimatière dans l'univers. On entend souvent que des expériences ont prouvé que les neutrinos dextrogyres n'existent pas. C'est faux ! Ces expériences ont simplement fermé quelques portes mais il reste encore pas mal de place surtout si les neutrinos dextrogyres ne ressentent pas la force faible contrairement aux lévogyres. L'exemple de l'expérience STEREO est flagrant. L'anomalie constatée dans le flux de neutrinos lévogyres provenant du réacteur nucléaire était simplement due à un biais dans les données. Une fois le biais corrigé cette expérience permet de fermer une porte mais certainement pas toutes les portes. Donc en conclusion l'énergie globale du vide (sommée sur tous les champs) est théoriquement nulle. Attendons les résultats des expériences de "pesage" et espérons qu'il n'y aura pas de biais dans les données car on voit maintenant souvent des articles publiés montrant avec force un résultat soit disant probant qui en définitive s'avère complétement faux (surtout en astronomie/cosmologie).

L'effet Casimir a été expérimenté et les résultats confortent l'existence de cet effet. Pour cela on utilise 2 plaques conductrices parallèles dans un vide très poussé. Lorsque les plaques sont suffisamment proches on constate qu'elles s'attirent. Pour des plaques planes la force engendrée est en un sur la distance de séparation puissance 4, si une des plaques est sphérique en un sur puissance 3. On peut faire un calcul détaillé et retrouver ces résultats mais l'explication physique est simple (voir nota 1). Entre les plaques, les fluctuations du vide sont limitées en fréquence (multiples de un sur la distance), en dehors des plaques il n'y a plus de limite d'où une différence fondamentale qui entraine cette force. Nous sommes dans le cas de plaques conductrices donc on fait référence ici à une théorie des champs quantiques électromagnétiques mais en théorie des champs quantiques on associe à chaque champ une particule et réciproquement on peut donc appliquer cette théorie à toutes les particules et champs. Une particule quantique est un objet complétement inconnu dont on ne sait définir que des propriétés contextuelles (dépendantes de l'expérience réalisée, interprétée d'ailleurs elle même sous forme d'histoires, voir nota 2). Il est donc difficile de faire une théorie complète de ce phénomène mais on peut émettre quelques hypothèses très spéculatives. La conservation du flux entraine une force en un sur le carré de la distance. En effet, la différence d'énergie pour un champ donné entre l'espace séparant les particules et l'espace extérieur est due au fait que les modes possibles de ce champ sont limités entre les particules et ce proportionnellement à l'inverse de la distance ce qui donne une fonction potentiel attirante en 1/d (voir nota 3). Même si les particules virtuelles sont sans masse, elles influent sur des particules massives donc la masse des particules doit être prise en compte et a priori de façon linéaire (voir nota 4). On retrouve donc de façon très spéculative la force de Newton pour des objets de "taille macroscopique" sachant que la valeur de la constante de gravité n'est pas si bien définie que ce que l'on suppose (voir nota 5).

Pour conclure, nos hypothèses sont très spéculatives mais une théorie émergente de la gravité permet de comprendre pourquoi les théoriciens se cassent les dents depuis plus de soixante ans sur la quantification de la gravité. Et ce n'est pas le seul argument en faveur de la gravité émergente, je renvoie à mes billets sur ce sujet pour en savoir plus (voir nota 6).

Pour finir, un peu d'histoire. Newton n'a jamais été content de sa formule donnant la force de gravité car il ne comprenait pas comment des corps pouvaient s'attirer à travers le vide. Les forces devaient se propager de proche en proche à travers un milieu servant de support, via un hypothétique éther par exemple. Un physicien de son époque (ou légèrement postérieure), Lesage, a résolu le problème en supposant que les corps macroscopiques étaient sans arrêt bombardés par des particules microscopiques, la gravité provenant alors d'un effet de masquage du flux des particules microscopiques. Feynman a repris ce concept dans un de ses écrits pour montrer que l'on pouvait concevoir un concept physique de plusieurs manières (voir nota 7). On peut considérer que le concept de gravité émergente via l'effet Casimir n'est pas si éloigné que ça de ce concept vieux de plusieurs centaines d'années..

Nota 1 : En fait, le calcul est plus compliqué si l'on tient compte de la température (agitation électronique et atomique) et que les plaques ne sont pas vraiment des conducteurs parfaits pour toutes les fréquences photoniques (passage de conducteur à diélectrique pour les très hautes fréquences ainsi que différents effets secondaires). Dans notre calcul on se place dans le cas de conducteurs parfaits et à température nulle car sinon la combinaison des différents effets est difficile à découper en effets primaires et secondaires.

Nota 2 : Griffiths a théorisé via des mathématiques rigoureuses les histoires en mécanique quantique. C'est beau mais très lourd mathématiquement et une compréhension avec les "mains" est très suffisante. Dans la description d'une expérience on ne fait jamais référence à la myriade d'interactions entre les objets quantiques, on construit simplement des histoires, exemple le photon est réfléchi par le miroir, un peu simpliste non ?

Nota 3 : Il s'agit évidemment d'un potentiel que l'on ne peut considérer que comme résiduel (type force de Van der Waals). En effet, les forces intrinsèques des champs quantiques sont beaucoup plus fortes que cette force qui n'est que la conséquence des fluctuations du vide. Son effet ne peux être significatif que quand la matière est globalement neutre (tous types de charges confondus). Par contre son effet est cumulatif, c'est pourquoi la force dérivée de ce potentiel ne devient sensiblement prépondérante que pour des corps au moins mésoscopiques. Et plus les corps sont dans le domaine macroscopique plus son effet est dominant sauf évidemment dans le cas où l'on ne peut pas considérer la matière comme neutre (plasma, corps ionisé, réaction nucléaire, etc), car dans ce cas les forces intrinsèques des champs quantiques reprennent leurs droits. Mais cela peut aussi se produire dans certains cas physiques particuliers comme par exemple les trous noirs qui semblent marquer a priori la limite de la relativité générale (pour les trous noirs supermassifs c'est plus difficile à affirmer car la valeur de leur courbure au niveau de la "sphère de Schwarzschild" est très faible mais la bonne métrique, celle de Kerr, peut laisser place à plusieurs types d'interprétations et le rayonnement d'Hawking de nature purement quantique est toujours présent. De plus, les dernières théories sur la constitution de l'univers jeune, quelques millions d'années après le découplage lumière/matière, permettent de penser que les trous noirs supermassifs se sont bien formés à partir de trous noirs stellaires issus d'étoiles massives).

Nota 4 : En fait, on doit raisonner de cette manière. L'effet étant cumulatif, la force globale attirante dérivée du potentiel en 1/d qui s'exerce sur 2 objets physiques indépendants (d étant alors la distance moyenne entre les 2 objets) est proportionnelle au nombre de particules composant chacun des 2 objets donc proportionnelle à leur masse respective.

Nota 5 : Des expériences faites pour mesurer la valeur de la constante G de la gravité donnent des résultats qui ne se recoupent pas (incertitudes prises en compte). La valeur de G a été fixée de manière très arbitraire par le bureau international des poids et mesures (valeur SI de G).

Nota 6 : Un exemple typique : comment peut-on définir le champ de gravitation d'une particule quantique en état de superposition spatiale (c'est pratiquement toujours le cas des particules quantiques) ?

Nota 7 : Ce type de théorie est reprise comme exemple par Poincaré dans son livre "La Science et l'Hypothèse".

Une équipe d'un laboratoire de l'université de Grenoble (expérience GRANIT) a étudié les états de neutrons ultra froids, c'est à dire ayant une très petite énergie cinétique (vitesse linéaire très faible dans le plan x/y), dans un champ de gravité suivant l'axe z (voir nota 1). Ces neutrons se comportent comme des balles que l'on ferait rebondir sur une surface dure. Ici, ils rebondissent sur un miroir et le système permet de mesurer quelle est la hauteur du rebond qui est fonction de l'énergie potentielle des neutrons.

Du point de vue quantique, le système s'analyse en prenant un potentiel Newtonien classique égal à mgz (m = masse du neutron, g = accélération moyenne de la pesanteur, z = hauteur du rebond) et en résolvant l'équation non relativiste de Schrödinger. Les rebonds étant petits, en fait de l'ordre du micron, g varie infiniment peu. Les mesures montrent que comme le prévoit la mécanique quantique les états de rebond sont quantifiés et que les neutrons peuvent passer de l'un à l'autre via des phénomènes d'excitation ou de désexcitation. De plus, les mesures sont en parfaites accord avec les calculs (voir nota 2).

Ces résultats montrent que dans une expérience avec des objets quantiques la gravité n'a pas besoin d'être quantifiée au moins pour des longueurs de l'ordre du micron mais surtout que le principe d'équivalence faible (voir nota 3) est mis en défaut car les énergies des états quantifiés dépendent de la masse du neutron. Pour une particule très lourde, les énergies des états quantifiés sont très proches deux à deux, il y a pratiquement continuité et le principe d'équivalence faible est approximativement respecté, mais pour une particule très légère comme ici le neutron ce n'est plus le cas. En fait il n'y a aucune raison qu'un principe classique soit automatiquement vrai en physique quantique.

Il y a plusieurs façons d'interpréter ce résultat. L'une est d'introduire une cinquième force (appelé Caméléon, on comprend pourquoi) très très faible qui expliquerait en particulier "l'énergie noire" et certains essaient d'utiliser cette expérience pour la caractériser. Cela n'a pour l'instant pas donner de résultat significatif et "l'énergie noire" reste la deuxième constante des équations d'Einstein, le nom constante cosmologique est plus en équation avec les observations et les mesures en attendant les résultats du satellite EUCLID. Une autre est de considérer la gravité comme une force émergente. Dans ce cas, le principe d'équivalence faible n'a pas lieu d'être au niveau quantique (voir nota 4), c'est un résultat approximatif purement macroscopique. Je suppose que l'on peut introduire d'autres interprétations mais cette deuxième interprétation me parait tout à fait cohérente quand on analyse les mesures faites sur la valeur de la constante de gravitation G dont certaines ne se recoupent pas (limites de précision incluses).

Nota 1 : Pour les détails de l'expérience voir l'article "Status of the GRANIT facility", lien = https://arxiv.org/pdf/1410.1376.pdf

Nota 2 : Pour les résultats de l'expérience et les calculs quantiques voir l'article "Manipulation of gravitational quantum states of a bouncing neutron with the GRANIT spectrometer", lien = https://arxiv.org/pdf/2205.11130.pdf

Nota 3 : Quand je parle du principe d'équivalence faible je fais mention au fait que dans un champ de gravité les objets "tombent" de la même manière quelque soit leur poids (donc leur masse). c'est le principe d'équivalence dit de Galilée. L'égalité de la masse "pesante" et de la masse inertielle (ou autres) provient elle tout simplement du fait qu'il existe en relativité restreinte un quadrivecteur dont la norme est constante, le quadrivecteur impulsion/énergie, m étant tout simplement la valeur de la norme (la vitesse de la lumière est prise égale à l'unité), et m caractérisant l'objet physique pris en compte. Le principe d'équivalence fort pris par Einstein comme hypothèse de base de sa théorie de la relativité générale est le fait qu'en tout point événement on peut ramener la métrique à celle de Minkowski qui va rester valable approximativement dans un volume d'espace/temps entourant le point choisi, c'est la fameuse expérience de pensée de l'ascenseur. A noter que l'annulation de la gravité en ce point oblige à franchir mathématiquement un pas de plus car il faut alors annuler les symboles de Christoffel mais ceci est toujours possible. Il est évident que la taille du volume d'espace/temps entourant le point dépend de la valeur de la gravité en ce point.

Nota 4 : La gravité dans ce cas n'a pas besoin d'être quantifiée car ce n'est pas une force fondamentale comme les 3 autres et dire au contraire que les résultats obtenus par l'expérience GRANIT montrent que la gravité doit être quantifiée n'est pas cohérent avec les distances impliquées qui sont seulement de l'ordre du micron, donc rien à voir avec la longueur de Planck, mais en fait rien n'est impossible.

Ce billet se veut une synthèse de mes réflexions sur la physique. Il est donc évidemment moins précis que les autres billets traitant d'un sujet en particulier. Soyons clair, tous les billets sont uniquement des réflexions et ne prétendent aucunement être des théories mais certains points soulevés me semblent pouvoir être des axes à approfondir par des théoriciens ou même des mathématiciens purs. Ils ne sont d'ailleurs pas que basés sur des réflexions (et bien sur des lectures et des études personnelles) mais sur de nombreux échanges concrets avec des physiciens spécialistes de ces sujets.

La physique actuelle se base sur 2 grands paradigmes, d'un coté la théorie quantique, de nombreux physiciens ont contribué à la mise en place de son cadre fondamental (Bohr, Einstein, Born, Heisenberg, Dirac, Pauli et bien d'autres), de l'autre la théorie de la relativité générale définie par le seul Einstein (mais aidé a priori sur le plan mathématique par son ami Grossmann). Ces 2 théories dans leur domaine d'application conduisent à des observations et des mesures très précises. Elles ont été élaborées pratiquement en même temps, au début du 20éme siècle.

La théorie quantique se préoccupe principalement de "l'infiniment petit", en fait surtout des atomes, des molécules, des particules dites élémentaires et son aboutissement est la théorie des champs (principalement champ électrofaible, champ chromodynamique et champ de Higgs) plus le modèle standard des particules élémentaires. Toutefois, des effets quantiques se manifestent au niveau macroscopique comme par exemple la supraconductivité ou la superfluidité et on utilise couramment les propriétés de la mécanique quantique comme l'effet tunnel dans nos appareils de tous les jours (le transistor est à la base des microprocesseurs et de leurs environnements qui sont présents actuellement dans pratiquement tous nos appareils). Par contre, il reste des phénomènes inexpliqués en particulier la masse des neutrinos et pourquoi le modèle standard des particules élémentaires fait appel à une trentaine de paramètres différents.

La relativité générale se préoccupe de "l'infiniment grand", en fait elle corrige la loi de Newton de la gravité pour les calculs dits locaux (système solaire), permet de définir le comportement de l'ensemble de l'univers (sa géométrie et sa dynamique). C'est avant tout une théorie géométrique de l'espace/temps (3 dimensions d'espace et 1 dimension de temps) qui met en relation la forme de l'espace/temps avec son contenu énergétique (courbure de l'espace par les masses, les particules suivant alors des géodésiques) sachant que depuis la théorie de la relativité restreinte du même Einstein la masse et l'énergie sont les 2 facettes d'un même paramètre physique (E = MC²). Comme l'espace et le temps sont imbriqués dans cette théorie (en relativité restreinte aussi mais plus simplement), le temps dépend de la masse présente et les caractéristiques de la lumière aussi (effet de lentille, décalage vers le rouge, trajectoire courbée). La théorie est non linéaire ce qui rend la recherche de ses solutions très difficiles et seules quelques unes sont connues mais uniquement en faisant des hypothèses très simplificatrices et souvent des approximations. On peut de plus assimiler les coefficients de la métrique de l'espace/temps à un champ en supposant que la gravité est très faible et l'on fait alors apparaitre des ondes gravitationnelles se propageant à la vitesse de la lumière (vitesse limite qui est la vitesse de propagation de tous les autres champs).

En conclusion, on a 2 théories qui de prime abord semblent indépendantes. Cela n'est pas satisfaisant pour les physiciens et plusieurs se sont attelés à la tâche de les rendre interdépendantes. En dehors de la gravité, tous les autres champs sont quantifiés, et à part Einstein et quelques uns qui ont essayé de rester dans le domaine classique pour unifier tous les champs (mais évidemment n'ont pas abouti), les autres physiciens ont basé leurs études sur la quantification de la gravité (voir nota 1). En fait, rien n'indique que la gravité doit être quantifiée mais il est vrai que cela semble naturel car l'on peut assimiler le champ de gravité en champ faible à celui d'une particule élémentaire de spin 2, le graviton, mais l'on perd alors à la fois le caractère géométrique de la théorie et la non linéarité pure (une particule de spin 2 introduit des non linéarités mais différentes) qu'il faut rétablir a priori par d'autres moyens. Il y a beaucoup de théories qui ont été élaborées, les 2 plus connues sont la théorie des cordes et la théorie des boucles, mais pour l'instant à part de beaux théorèmes mathématiques aucune n'a montré le moindre lien avec le réel des observations et des mesures. L'une d'elles aboutira peut-être un jour à quelque chose, l'avenir nous le dira mais il semble que pour l'instant ce jour semble très très lointain (mais cela peut changer du jour au lendemain), et de plus pour moi certaines ont déjà du plomb dans l'aile (et cette image est parfois faible).

Bon, voyons maintenant l'apport de mes réflexions. Comme je l'ai montré dans un billet si l'on considère la mécanique quantique comme une pure théorie statistique mais dont les probabilités sont issues d'une fonction complexe via des conditions suffisantes on retrouve en quelques lignes tout le cadre de la mécanique quantique (classique ou relativiste). En étudiant une interaction microscopique ont met en relation les constantes de la théorie avec la constante fondamentale de Planck. La plupart des phénomènes "mystérieux" de la mécanique quantique disparaissent tels que la réduction du paquet d'onde, le résultat d'une mesure, la non localité, etc, car ils sont Inhérents à une théorie statistique. Le fait que les probabilités soient issues d'une fonction complexe explique clairement les interférences, les états assimilables à des histoires (et pourquoi cela marche) et le phénomène d'intrication via les interactions. L'intrication via l'interaction semble d'ailleurs le phénomène fondateur de la physique. Il explique la flèche du temps puisque les objets physiques ayant interagi sont automatiquement corrélés au moins en partie et cette corrélation n'est pas réversible d'où l'irréversibilité globale des phénomènes physiques. De plus, si l'on prend en compte, le fait que la gravité est avant tout un phénomène macroscopique (aucune mesure microscopique réelle n'a jamais été faite jusqu'à présent car la petitesse de la gravité par rapport aux autres forces l'empêche) et que l'homogénéité de l'univers s'explique par le fait que tous les objets physiques ont déjà été en interaction par le passé (observation du fond diffus cosmologique), on peut considérer que la gravité est une force émergeante issues de l'intrication des objets physiques (mais ce n'est pas la seule caractéristique quantique qui peut la faire émerger). Je renvoie à mes billets pour de plus amples explications.

In fine, on peut dire que vouloir quantifier la gravitation n'a aucun sens car c'est une théorie émergeante et que la théorie quantique répond pour l'instant à la plupart de nos questions. Par contre, il est évident que le modèle standard des particules élémentaires doit être complété. En ce qui concerne la gravité, parler d'énergie noire est une aberration car la constante cosmologique est tout simplement la seconde constante des équations d'Einstein, par contre la matière noire peut être soit une particule encore inconnue de notre modèle à compléter soit un phénomène provenant du fait que la gravité est émergeante via l'intrication (mais ce n'est pas la seule caractéristique quantique qui peut la faire émerger) et de nos hypothèses simplificatrices. Enfin lorsque les phénomènes quantiques jouent un rôle prépondérant nos conceptions sur la gravité atteignent leurs limites et c'est certainement le cas pour les trous noirs et le big bang (voir nota 2).

Nota 1 : Dans la mesure où l'on considère que l'espace/temps et la gravité sont la même chose (théorie d'Einstein), quantifier l'espace/temps ou la gravité revient au même. Dans beaucoup de théories, c'est l'espace/temps qui est quantifié.

Nota 2 : La non détection des micros trous noirs de Hawking dont la création est prévue lors des phases initiales du big bang peut être considérée comme un indice que lors des phases initiales du big bang les équations d'Einstein ne sont pas valides.

j'ai souvent évoqué dans mes billets que la gravité pourrait être une théorie émergente (et expliqué dans un ce qu'est une théorie émergente). Le but de ce billet est de donner les raisons qui me le font penser et à titre très spéculatif de les compléter par une possibilité qui pourrait être l'hypothèse de départ d'une théorie qui reste à construire (je vais parler longuement de spéculation donc il est possible sans que cela pose de problème de sauter toute cette partie et d'aller directement au sujet sur "la gravité émergente", paragraphe ***).

Comme je vais entrer dans le domaine de la spéculation, je dois préciser quel est mon point de vue sur la spéculation dans les théories car mes autres billets peuvent laisser penser que j'ai un sentiment très négatif à son sujet. Soyons très clair, la spéculation est nécessaire, et même indispensable, pour faire avancer les théories scientifiques. Tant qu'elle reste dans le cercle scientifique cela ne peut pas poser de problème car les scientifiques sont des gens avertis, par contre dès qu'elle sort de ce cercle pour aller vers le "grand public" elle doit être employée avec d'infinies précautions et il faut expliquer clairement la limite entre les théories reconnues (via l'observation et les expériences) et celles qui ne sont que des spéculations. Malheureusement, les livres dit de vulgarisation qui se vendent bien (et rapportent pas mal d'argent à leurs auteurs) piétinent en général ce concept et il en est de même pour les conférences "grand public" où le conférencier acquière de la notoriété, et comme par hasard a un de ses livres à vendre. Bien maintenant que tout est clair et que je vais parler de gravité, je voudrais revenir sur quelques théories où la spéculation va bon train.

Les "trou noirs", j'en ai fait presque un sacerdoce. Le problème c'est qu'on les trouve mis à toutes les sauces. Nos théories et en particulier la relativité générale atteignent leurs limites si l'on dépasse ce que l'on appelait avant les étoiles figées (en gros, le temps vu par l'opérateur distant se fige sur la "sphère de Schwarzschild") et non pas des "trous noirs", évocation parlante mais surtout plus vendeuse. Vouloir aller plus loin, c'est de la pure spéculation car nos théories ont atteint plus que leurs limites et ce ne sont pas les images du EHT ni les mesures faites par le réseau LIGO/VIRGO (ondes gravitationnelles) qui prouvent le contraire. Elles montrent simplement qu'il existent des objets plus compacts que les étoilent à neutrons qui ont effectivement certaines caractéristiques des "trous noirs" mais rien de plus, au moins pour l'instant (voir mes billets à ce sujet).

Puisque je vais parler de gravité, je dois parler des autres théories spéculatives sur la gravité. Malheureusement, je n'en connais que deux suffisamment bien. Barrau a produit un article de synthèse sur les plus connues en les appliquant à la cosmologie dont le titre est "Testing different approaches to quantum gravity with cosmology: An overview" (lien : https://arxiv.org/abs/1705.01597). Cette référence vous donnera quelques indications sur celles-ci.

La théorie des cordes n'est pas à proprement parler une théorie de la gravité mais comme elle se veut une théorie de tout, la gravité en fait partie. Le point de départ n'est pas vraiment spéculatif. On sait que dans nos théories le point le plus problématique est de considérer les interactions comme ponctuelles car nos q-particules n'ont pas de dimension (au moins au niveau de la théorie). L'objet le plus simple, non ponctuel, c'est une corde (une dimension d'espace). On construit alors via les principes relativistes une théorie séduisante qui supprime une partie des problèmes dus à la ponctualité des interactions. Mais l'espace/temps a alors 26 dimensions (25 d'espaces et 1 de temps, en théorie normale des cordes il y a toujours une seule dimension de temps) et il n'existe que des bosons (particules dont le spin est entier). A partir de là, les spéculations vont bon train, espaces de Calabi-Yau, supersymétrie brisée, théorie M, branes, théorie holographique, etc, etc (voir mes autres billets).

La théorie des boucles (loop quantum gravity ou LQG) est une théorie uniquement de quantification de la gravité (plus exactement de l'espace). Elle est construite au départ sur l'équation de Wheeler-DeWitt et la mise sous forme canonique de la gravité par Ashtekar mais son principe de base parait tout à fait vraisemblable. Si tout peut être granulaire pourquoi pas l'espace/temps (la plupart des autres théories de la gravité partent de ce principe) ? J'ai déjà expliqué dans un autre billet que nos observations et expériences sont basées sur des comparaisons d'intervalles et que l'existence de la constante de Planck nous permet de définir un intervalle minimum de temps et de longueur (via nos autres constantes). Une des solutions de l'équation de Wheeler-DeWitt est une boucle dimensionnelle d'espace, la dimension temps ayant disparu dans la théorie. Ensuite, on déroule des concepts mathématiques pour construire une théorie tant soit peu cohérente. Le problème c'est que pour l'instant cette théorie n'a aucune prise avec le réel de nos observations et de nos expériences et qu'il ne suffit pas d'utiliser des arguments "spécieux" pour expliquer que le temps n'existe pas (voir mon billet à ce sujet).

Bon j'en termine là, sur mon aparté sur la spéculation dans les sciences mais je la crois utile car depuis le "best seller" d'Hawking des années 80 (qui a d'ailleurs fait sa fortune) foisonnant de spéculations, les livres de vulgarisation scientifiques contiennent pour la plupart une masse de spéculations sans que l'auteur l'explique clairement (à noter par contre que le "pavé" de vulgarisation scientifique de Penrose n'entre pas dans cette catégorie).

*** Avant de commencer sur ma propre théorie spéculative, je dois parler de la théorie émergente de Verlinde, seule théorie à ma connaissance qui a une certaine notoriété dans le monde scientifique (à noter que Verlinde s'inspire très largement de la théorie développée par Jacobson).

Au départ, Verlinde construit une théorie émergente de la gravité qui se cantonne à la théorie Newtonienne. Pour cela, il introduit la notion de force entropique que l'on peut mettre en évidence en théorie thermodynamique de la matière. Donc suite à des calculs qui ne paraissent pas très consistants et à une série d'approximation, il arrive à "démontrer" que la force Newtonienne peut émerger via la force entropique. En dehors du fait que les calculs ne sont pas vraiment probants, l'entropie est pour moi une fonction importante mais secondaire (voir mes billets à ce sujet), la notion primaire dont découle l'entropie est l'irréversibilité. Dans un deuxième temps, pour arriver à quelque chose qui ressemble aux équations d'Einstein, il prend comme concept de départ l'intrication et en faisant plusieurs "tours de passe-passe" avec l'entropie, la théorie des cordes (c'est un théoricien des cordes) et la théorie holographique, il arrive à "justifier sa théorie" (très très partiellement).

Après avoir critiqué assez vertement la théorie de Verlinde, voyons quelles sont mes propositions. Tout d'abord, pourquoi une théorie émergente de la gravité ?

Le premier point est la faiblesse de la force de gravité par rapport aux 3 autres forces fondamentales (dans les théories à plus de 4 dimensions, on l'explique souvent par le fait que la gravité se répand dans toutes les dimensions alors que les autres forces fondamentales restent cantonner aux 4 dimensions habituelles). Les mesures de la gravité sont au mieux dans le monde submillimétrique et ne testent que les déviations possibles par rapport à la force Newtonienne en 1/r². En ce qui concerne les équations d'Einstein, les mesures ne peuvent se faire au mieux qu'au niveau du système solaire sauf en ce qui concerne les effets de la gravité sur le temps mais on reste au niveau terrestre. Ce sont donc uniquement des équations testées lorsque le nombre de particules en jeu est colossal.

Le deuxième point est que bien que les équations d'Einstein traduisent aussi une théorie de jauge comme nos 3 autres théories des forces fondamentales, il est impossible de la quantifier de la même manière. Sa non linéarité n'explique pas tout et il semble que cette impossibilité soit intrinsèque à la théorie elle-même.

Le troisième point est que la "charge" de la théorie (la masse/énergie de la matière) ne peut pas être annulée. Donc nous baignons dans la gravité et nos instruments de mesure sont automatiquement impactés par elle. Nos mètres étalons sont "courbés" par les masses qu'ils sont sensés mesurer. Il n'y a donc rien d'étonnant à ce que nous voyons notre espace local comme étant courbé (l'univers dans son ensemble est a priori pratiquement plat mais c'est un autre sujet) d'où les fameuses équations d'Einstein qui mettent en relation la géométrie de l'espace et son contenu.

Un point sur lequel je suis d'accord avec Verlinde c'est que la gravité si elle est vraiment émergente ne peut émerger que de l'intrication, concept fondamental (pour ne pas dire fondement) de la mécanique quantique. A partir de là, mais c'est très difficile de le mettre en équation de manière correcte, on doit pouvoir déduire que pour une quantité raisonnable de particules on arrive à une force automatiquement attractive en 1/r² issue de leurs intrications (géométriquement c'est relativement clair). Puis pour des quantités de particules suffisamment importantes, des effets non linéaires se produisent et le fait que tout soit attractif conduit à des équations qui déterminent la géométrie de l'espace via son contenu de matière et réciproquement. Si l'on se rappelle que l'intrication est un phénomène non local dans le temps et dans l'espace et que toutes les particules ont été en intrication les unes avec les autres (homogénéité et isotropie du fond diffus cosmologique), les équations que l'on déduit sont en fait des équations de l'espace/temps et qui en suivant les principes relativistes ne peuvent aboutir qu'aux équations d'Einstein et en particulier montrer que la gravité émergente est aussi limitée dans sa causalité par la vitesse de la lumière (il est impossible d'utiliser l'intrication pour échanger des informations entre opérateurs plus vite que la vitesse de la lumière). Evidemment, mathématiquement c'est un peu court comme théorie et c'est aussi "tour de passe-passe" que la théorie de Verlinde mais par contre mes 3 constats de départ me semblent très solides et ma "pseudo théorie" ne repose pas sur des théories très spéculatives comme l'est celle de Verlinde. Elle explique de façon très simple pourquoi il est inutile et même incohérent de vouloir quantifier la gravitation (voir nota). Peut-être qu'un physicien théoricien finira par avoir les mêmes idées et sera capable de les mettre en "musique" (pour en savoir plus voir la page : "Ebauche théorique du concept de gravité émergeante").

Nota : Cela n'empêche pas l'espace/temps d'être granulaire (rien ne le démontre en dehors des possibilités offertes par la constante de Planck) mais ce ne sera pas lié à la gravité elle-même. De plus, on peut toujours quantifier les ondes gravitationnelles mais c'est un artefact mathématique comme pour les phonons en théorie du solide.

Ce billet se veut un peu plus philosophique que les autres, toutefois les réflexions qu'il contient sont basées uniquement sur les théories physiques. De plus, ces réflexions sont déjà plus ou moins présentes dans quelques uns de mes billets.

On trouve dans la littérature beaucoup de papiers qui pose la question : "c'est quoi la flèche du temps ?" Une réponse simple que j'ai déjà donnée est le fait qu'une des propriétés fondamentales de la mécanique quantique est l'intrication (d'ailleurs issue de son fondement statistique, voir mes billets à ce sujet). En effet, le phénomène d'intrication se produit lors des interactions entre q-particules. Il peut être de nature explicite, par exemple un couple de q-particules est émis avec un spin global égal à 0, ou de nature plus cachée, par exemple les interférences dans le cas de l'expérience des fentes d'Young. L'intrication implique donc une flèche du temps au niveau microscopique, 2 q-particules ayant interagi ne sont plus indépendantes l'une de l'autre au moins jusqu'à ce qu'elles subissent une nouvelle interaction qui va modifier leurs niveaux d'intrication pour en créer d'autres d'un nouveau type. Le phénomène de décohérence est le pendant de l'intrication puisqu'il traduit tout simplement la myriade d'interactions que subit un système macroscopique en temps normal ou une q-particule lors d'une mesure. Cette myriade d'interactions fait alors passer l'irréversibilité des phénomènes du monde microscopique au monde macroscopique. C'est donc la flèche du temps microscopique qui implique la flèche du temps macroscopique. La fonction entropie permet de la mesurer de façon relative au niveau macroscopique (c'est à dire entre 2 états) via la valeur de sa croissance. Son utilisation à un niveau intermédiaire pose quelques problèmes, en particulier sa non unicité (calcul du type "gros grains") et sa soumission aux fluctuations potentielles des objets physiques. Il est dommage que les physiciens la prennent souvent comme fonction fondamentale des théories physiques et surtout la mettent à "toutes les sauces".

Je ne voudrais pas laisser croire que je considère l'entropie comme une fonction mineure. C'est une fonction très utile par contre à employer avec précautions. Merci à Boltzmann de l'avoir définie de façon précise dans le cas d'un gaz et d'avoir mis en évidence sa provenance, d'ailleurs purement statistique. Lorsque ses protagonistes lui faisaient remarquer qu'en inversant les vitesses des particules, le résultat s'inversait, il leur répondait tout simplement : "Eh bien essayez !". Il est vrai qu'inverser toutes les vitesses des particules d'un gaz est mission impossible (même en restant dans le domaine classique). Toutefois, je voudrais faire la réflexion suivante. Je réunis les particules du gaz dans un petit volume puis je les libère dans un grand volume. Si je passe le film de la scène à l'envers, tout le monde croit pouvoir dire que le film est passé à l'envers. Pourtant, attendons un temps beaucoup plus long, une fois les particules réunies à nouveau que va-t-il se passer ? Elles vont encore se disperser et je vais retrouver le même état moyen dans le passé que dans le futur et je ne saurai plus dire si c'est une scène du passé ou du futur (j'ai évidemment supposé l'impossible, retourner toutes les vitesses des particules du gaz). C'est tout de même quelque chose qui interroge car c'est vrai pour le verre qui casse, au bout d'un temps assez long (peut-être une éternité), le passé et le futur sont difficilement reconnaissable au moins au niveau macroscopique. Il est fait mention dans la bible de cette tautologie : "Poussière, tu n'es que poussière et tu retourneras à la poussière". Poincaré a d'ailleurs démontré qu'en physique classique un objet dynamique revient au bout d'un temps fini aussi près que voulu de son point de départ. Un temps fini peut évidemment être très très grand et de plus cela ne tient pas compte de la nature purement statistique de nos lois microscopiques.

Un point fondamental des théories physiques est que l'on peut retourner le sens du temps sans qu'elles perdent leurs statuts. Cela a souvent amené les physiciens à des interrogations. Pourtant, il me semble qu'il n'y a rien d'extraordinaire à cela. La variable temps comme les variables positions ne sont que des artefacts de nos théories, théories qui en plus sont souvent exprimées de manière différentielle. Donc ce qui est important, c'est que nos théories soient indépendantes de ces variables. C'est bien ce que nous dit le principe d'invariance relativiste. Ce qui compte vraiment c'est les intervalles car toute mesure se fait en fait par comparaison d'intervalles et nous devons définir des intervalles de références pour pouvoir produire nos mesures. Ces intervalles peuvent être très petits mais jamais tendre vers 0, d'ailleurs l'existence de la constante de Planck nous permet de définir des intervalles minimaux. Les variables temps et espace sont donc bien des artefacts issus tout simplement de moyennes sur ces intervalles.

Ceci nous amène d'ailleurs à la circularité de nos théories. Prenons un exemple typique. Pour faire son expérience qui lui a valu le prix Nobel de physique Aspect avait besoin d'une source fiable (c'est d'ailleurs la mise au point de cette source qui lui a pris le plus de temps pour faire son expérience). C'est à dire d'une source dont les couples de photons émis avaient un spin global égal à 0 avec une possibilité d'erreur très petite (je ne connais pas cette valeur). Mais pour définir la fiabilité de sa source, il s'est appuyé premièrement sur la théorie, la mécanique quantique, qui lui expliquait pourquoi sa source devait émettre des couples de photons avec un spin global égal à 0 et deuxièmement une série de mesures qui montrait que les couples de photons émis avaient bien un spin global égal à 0. Une fois sa source fiable mise au point, il a pu réaliser concrètement son expérience qui montre le caractère "non local" du phénomène d'intrication. Il est évident que cette expérience incontestable était digne du prix Nobel (ce n'est pas le cas de tous les prix Nobel). Mais il est difficile de nier une certaine circularité (le serpent se mords la queue) car les résultats de l'expérience ne peuvent être interprétés que statistiquement comme l'est la fiabilité de la source dite "fiable". Cela permet à certains non pas de contester les résultats obtenus mais de trouver des explications autres (farfelues ?) que la "non localité" du phénomène d'intrication. Pour trouver d'autres exemples typiques, on peut se référer à l'astronomie ou à la cosmologie. Le problème principal de ces sciences, c'est que l'expérimentation étant impossible, il faut pour interpréter les observations se référer à nos théories testées uniquement localement. On doit donc la plupart du temps utiliser des fonctions statistiques pour assimiler des observations à des mesures. Par exemple, l'arpentage de l'univers est bâti sur plusieurs types de chandelles standards. Pour n'en citer que 2, les céphéides (étoiles variables dont on suppose connaître très bien la périodicité), les supernovas de type Ia (dont on pense bien connaître les processus physiques conduisant à leur formation). Pour ces dernières il faut en plus rajouter, le "red shift", issu de l'application des équations d'Einstein dans un modèle très particulier qui suppose que sur des grandes distances l'univers peut être considéré comme isotrope et homogène (mais pas que, par exemple que les galaxies ou les amas peuvent être assimilés à un gaz parfait sur ces grandes distances). Ce "red shift" permet alors de déterminer la distance de ces supernovas. Je pense que le modèle lambdaCDM, issu de ces observations et d'autres (mesure de ses principaux paramètres via nos observations du fonds diffus cosmologique) est bien la meilleure solution pour décrire l'univers mais il ne faut pas s'étonner qu'il y ait des "trous dans la raquette", les autres modèles (je ne sais pas s'il y en a tant que ça qui soit un peu cohérent) ne me semblent pas lui arriver à la "cheville".

Bon pour le moment, j'arrête là ces quelques réflexions. Elles me paraissent pertinentes, pourquoi certains physiciens ne s'en inspireraient-ils pas ?

Ce questionnement est très à la mode et de nombreuses conférences sont données sur ce thème. Dans ce billet, je voudrais simplement revenir sur les raisons qu'a données Carlo Rovelli pour soutenir que le temps n'existe pas lors de sa conférence dans le cadre du cycle de conférences "Einstein et sa postérité". Carlo Rovelli est très en pointe sur ce sujet mais il me semble qu'il a une raison évidente pour cela. Carlo Rovelli est l'inventeur avec Lee Smolin de la théorie de la gravité quantique à boucles (loop quantum gravity, LQG). La construction de cette théorie est basée sur l'équation de Wheeler/DeWitt et les travaux de Abhay Ashtekar qui a explicité une forme canonique de la théorie de la gravité. Dans la LQG, en fait il n'y a pas de place pour le temps, seul existe un espace en 3 dimensions constitué de boucles quantiques.

Mais revenons-en aux raisons données par Carlo Rovelli dans sa conférence. Il explique que la définition du temps est cyclique, c'est à dire que si je veux définir le temps que met un pendule pour revenir à sa position initiale je suis obligé de me référer à quelque chose qui est aussi cyclique. Par exemple, l'angle que parcours la corde du pendule, je vais le relier à l'angle que l'aiguille de ma montre a parcouru (on peut dire que le serpent se mort la queue). Donc en fait, je n'ai pas besoin du temps car je peux me contenter d'expliciter des relations entre objets physiques existant dans l'espace. Cet argument me parait fallacieux car je peux faire le même raisonnement pour l'espace. Si je veux mesurer la distance séparant 2 objets physiques, je vais faire intervenir une autre distances séparant 2 autres objets physiques par exemple les 2 extrémités de ma règle d'arpenteur. Sans référentiel dans lequel je sais faire de l'arpentage dans le temps et l'espace, je suis démuni et cela est aussi vrai au niveau quantique.

Il me semble plus opportun de dire que les relations entre objets physiques ne sont pas des variables temps ou espace mais des intervalles que je peux comparer les uns avec les autres et ainsi définir d'une façon relative les événements de l'espace/temps. D'ailleurs c'est bien ce que l'on fait quand on définit la norme relativiste, le fameux ds². En prenant la vitesse de la lumière égale à un, nos unités d'espace et de temps deviennent homogènes (la vitesse d'un objet est alors un pourcentage de la vitesse de la lumière). C'est ce qui parait le plus naturel, notre système d'unités étant issu de la "vieille physique". L'avantage de cette conception ne faisant intervenir que des intervalles est qu'elle n'a pas besoin du continu, elle peut être discrétisée facilement puisque nous avons la constante de Planck qui permet avec les autres constantes de définir un grain d'espace et un grain de temps (la longueur de Planck et le temps de Planck, voir nota). Est-ce suffisant ? Je suis bien incapable de le dire. On notera en particulier qu'il reste la possibilité que la gravité soit une théorie émergente (elle est très bien vérifiée macroscopiquement et localement mais c'est tout), et dans ce cas, quelle est la définition de l'espace/temps ? En tout cas vous l'aurez compris, malgré le fait que je considère Carlo Rovelli comme un des grands physiciens actuels, ses arguments ne m'ont pas convaincu.

Nota : vu la "taille" de ces grains, il est possible de définir, même au niveau microscopique, des variables continues représentant l'espace/temps qui sont des sortes de moyennes. Elles permettent alors de définir des opérateurs de type dérivées partielles ou totales. On notera qu'alors la notion d'interaction ponctuelle est en fait un artefact de ces variables. De plus, les interactions conduisent, en mécanique quantique, à la notion d'intrication qui permet de définir une flèche du temps.

Le but de ce billet n'est pas de faire un cours de mathématiques sur la relativité (il en existe beaucoup, plus ou moins bien faits) mais de mettre en évidence quelques points particuliers souvent négligés mais qui peuvent avoir leurs importances et permettent d'avoir une vue plus globale des implications de la relativité.

Je rappelle qu'un des principes premiers de la relativité (pas toujours bien explicité) est que l'on peut toujours localement, donc en un point événement, se ramener à un espace/temps de Minkowski. Le terme localement veut dire que théoriquement ce point événement est infinitésimal mais dans le cas d'un champ de gravité faible il peut définir un espace/temps relativement grand et ce d'autant plus que la force de gravité est beaucoup plus faible que les autres forces connues. L'espace/temps de Minkowski est défini par sa pseudo norme (ou pseudo produit scalaire) ds² = dt² - dx² - dy² - dz² où (t, x, y, z) définissent un quadri-vecteur X qui représente un événement de l'espace/temps (voir nota 1). Cette pseudo norme exprime en particulier le fait que rien ne peut dépasser la vitesse de la lumière.

Cette pseudo norme est la base de la construction de tous les invariants en relativité. Il y a plusieurs objets que l'on peut construire : des quadri-vecteurs, des tenseurs et enfin des spineurs. Ils ont tous la particularité lors d'un changement de référentiel de se transformer de manière à laisser leurs produits scalaires invariants (voir nota 2).

Le premier invariant que l'on peut construire de manière évidente c'est la vitesse d'univers dont la pseudo norme est égale à 1. En effet : (dt/ds)² - (dx/ds)² - (dy/ds)² - (dz/ds)² = 1. En remarquant que (ds/dt)² = 1 - v² et en introduisant une constante m propre à la particule qui va donc la caractériser, on construit le quadri-vecteur P = (Pt, Px, Py, Pz). Par analogie avec la physique classique (v petit), on associe ce quadri-vecteur à l'énergie et à l'impulsion de la particule, c'est donc son quadri-vecteur énergie/impulsion et m sa masse d'où d'ailleurs l'équivalence masse/énergie. Bon vous me direz tout ça pour ça mais on n'est pas obligé de s'arrêter là.

Amusons nous à construire un tenseur à l'aide des 2 quadri-vecteurs X et P (voir nota 3). En fait la construction simple n'a pas beaucoup d'intérêt mais tout tenseur d'ordre 2 peut de décomposer de manière évidente en un tenseur symétrique et un tenseur antisymétrique, noté M ici (voir nota 4). Un tenseur antisymétrique d'ordre 2 peut se décomposer en 2 vecteurs d'espace (composantes en x, y et z), le premier s'appelle vecteur d'espace électrique E, l'autre vecteur d'espace magnétique B (voir nota 5). Ici B est tout simplement proportionnel au moment cinétique classique. A partir de ce tenseur on fabrique 2 invariants relativistes E² - B² et E.B (on utilise le produit scalaire d'espace ici), On retrouve ce résultat en électromagnétisme, le premier invariant étant le Laplacien du champ électromagnétique. On peut continuer en introduisant le tenseur de Levi-Cevita (Lc) et créer un nouveau quadri-vecteur W = (1/2) Lc M P (voir nota 6) dont la pseudo norme est un invariant de Casimir (l'autre invariant de Casimir étant la pseudo norme de P, soit m).

Il nous reste un dernier objet à construire, les spineurs. Un quadri-vecteur est composé de 4 composantes qui ont la propriété de se transformer par un changement de base de manière à conserver la pseudo norme donc si l'on définit un objet mathématique ayant 2 composantes complexes nous auront le même nombre de variables mais il faudra que ces variables se transforment en conservant la pseudo norme. Il faut donc imposer aux termes de la matrice définissant la transformation un certain nombre de contraintes en particulier celles définies par les 6 rotations dans les 6 plans de l'espace/temps (voir nota 7). Une fois ces contraintes imposées on peut définir : un produit scalaire de spineurs (sa valeur doit être bien sur invariante), un spineur métrique en relation avec ce produit scalaire, la notion de spineur conjugué ou spineur à indice pointé, des spineurs dit "tensoriels" (voir nota 8) et enfin relier les spineurs "tensoriels" aux tenseurs et en particulier aux quadri-vecteurs. Si l'on ne s'occupe que de la composante espace d'un spineur, celle-ci à la particularité de s'inverser lors d'une rotation de 360° dans la partie espace, il faut donc faire 2 tours pour retrouver le spineur "espace". Comme ces objets sont un peu particuliers, il est loisible de dire qu'ils agissent dans un espace "interne" lié à la particule (voir nota 9) mais leurs liens avec les tenseurs vont se traduire par des actions dans l'espace/temps.

Un constat important que l'on peut faire vis à vis des transformations laissant invariant le pseudo scalaire est que le produit de 2 transformations de même type ne conduit pas toujours au même type de transformation. La conjugaison de 2 "boosts" (voir nota 10) conduit en fonction de l'orientation des vitesses à un boost plus une rotation. Pour une particule accélérée cela se traduit par la précession de tout vecteur rattaché à la particule, précession dite de Thomas, en particulier celle de son spin.

Un autre est que si l'on attribue un vecteur spin (de type espace) à une particule, on peut définir la projection de son vecteur impulsion (de type espace) sur ce vecteur spin. Cette quantité change de signe si le nouveau référentiel employé se déplace plus vite que la particule. Par contre si la masse de la particule est nulle (photon par exemple), celle-ci se déplaçant à la vitesse de la lumière, le signe est un invariant caractérisant la particule (voir nota 11).

Tout ceci est encore mieux défini si l'on se place dans le cadre de la mécanique quantique. Les différents objets deviennent des opérateurs hermitiques qu'il est relativement simple de faire apparaitre en considérant l'invariance de la fonction de probabilités complexe (voir nota 12). Cette invariance définit alors les relations de commutation entre ces opérateurs et les opérations algébriques que l'on peut effectuer entre eux permettent de définir leurs valeurs propres et leurs fonctions propres. Mais si l'on veut être mathématiquement complet et surtout plus rigoureux, on se place alors en théorie des groupes, ici le groupe de Poincaré (groupe de Lorentz élargi), et on recherche les générateurs du groupe et l'algèbre de Lie associée mais cela est plus des mathématiques que de la physique (souvent indispensables mais pas toujours nécessaires).

Enfin si l'on veut pleinement définir une particule, il faut caractériser son interaction avec les champs via des objets qui peuvent être simples, par exemple la charge électrique pour le champ électromagnétique, ou parfois plus compliqués, par exemple la charge de couleur (rouge, vert, bleu) pour le champ de la force forte.

Nota 1 : la vitesse de la lumière est prise égale à 1 donc l'unité de temps est identique à l'unité de distance et les vitesses sont exprimées en pourcentage de la vitesse de la lumière. Dans beaucoup d'ouvrages la définition du ds² est inversée, je n'ai jamais compris l'intérêt de cette inversion car les particules ont toutes une vitesse égale ou inférieure à celle de la lumière et donc le ds² doit être positif pour les cas physiques.

Nota 2 : pour un tenseur on montre que sa trace est aussi un invariant.

Nota 3 : on peut toujours construire des tenseurs de plusieurs ordres en multipliant (correctement) les coordonnées de plusieurs quadri-vecteurs mais le contraire n'est généralement pas vrai, un tenseur n'est pas obligatoirement le produit de plusieurs quadri-vecteurs.

Nota 4 : un tenseur symétrique a ses composantes opposées égales, un tenseur antisymétrique à toutes ses composantes opposées inverses l'une de l'autre (coefficient moins 1 entre elles) et nulles si les 2 indices sont identiques.

Nota 5 : cette dénomination vient de l'électromagnétisme. Les champs électrique et magnétique qui dérivent d'un quadri-potentiel sont regroupés en relativité dans un tenseur d'ordre 2 antisymétrique, le tenseur électromagnétique.

Nota 6 : le tenseur de Levi-Cevita est un tenseur d'ordre 4. Il est égal à plus 1 si ses indices sont dans l'ordre normal d'une permutation circulaire par exemple (0, 1, 2, 3) ou (2, 3, 0, 1), moins 1 dans un ordre anormal par exemple (0, 2, 1, 3) ou (2, 3, 1, 0) et nul si 2 au moins sont égaux par exemple (0, 0, 1, 2) ou (3, 3, 3, 3). Pour construire le quadri-vecteur W à partir de ces 2 tenseurs et du quadri-vecteur on applique une contraction d'indices au tenseur ainsi formé. Ici la contraction s'effectue sur 3 indices bas du tenseur de Levi-Cevita et les 3 indices haut du tenseur M P. L'opération de contraction d'un tenseur permet de réduire son ordre tout en conservant sa propriété d'être un tenseur (ou de devenir un quadri-vecteur ou un scalaire). Elle s'effectue toujours entre un indice haut (indice contravariant) et un indice bas (indice covariant). Il est toujours possible de changer la position d'un indice en utilisant le tenseur métrique associé à la pseudo norme.

Nota 7 : les 6 plans sont : (t, x), (t, y), (t, z), (x, y), (x, z) et (y, z).

Nota 8 : la construction de spineurs "tensoriels" se fait de la même manière que pour les tenseurs avec la possibilité d'effectuer les mêmes opérations sur les indices.

Nota 9 : mathématiquement l'espace/temps devient un espace fibré.

Nota 10 : un boost est une transformation qui relie le passage d'un référentiel à un autre via une simple vitesse de type espace, c'est la fameuse transformation de Lorentz remplaçante de la transformation de Galilée de la mécanique classique .

Nota 11 : pour le photon qui a un spin de valeur 1 cela implique aussi que la valeur du spin sur un axe x, y ou z ne peut prendre que les valeurs plus ou moins un et pas zéro.

Nota 12 : cette fonction devient alors dans le cas général un bispineur (composé d'un spineur et d'un spineur à indice pointé) pour tenir compte de l'invariance de la théorie par une réflexion d'espace. L'apparition dans l'équation de Dirac d'une antiparticule associée systématiquement à une particule conduit pour une question de cohérence à la théorie quantique des champs. A titre d'indication, une introduction élémentaire sur les spineurs : https://arxiv.org/pdf/1312.3824.pdf

L'utilisation d'expériences de pensée ou d'images est un outil pour le raisonnement à la fois dans le domaine de la recherche mais surtout dans le domaine de la vulgarisation des théories. Le danger principal de cet outil c'est que pour des esprits non avertis il peut créer des biais conduisant à des fausses interprétations. Par exemple, plusieurs mathématiciens de renom travaillant sur des théories très abstraites aiment bien se représenter les objets mathématiques sous forme géométrique et cela n'a aucune conséquence pour leurs théories, c'est une simple aide conceptuelle. En physique, Einstein a construit de nombreuses expériences de pensée dont les plus célèbres essayaient de montrer qu'il existait des incohérences ou des imprécisions en mécanique quantique mais cette dernière en est toujours sortie vainqueur. Ceci montre bien qu'il faut être très méfiant vis à vis de ces expériences de pensée ou de ces images.

Une image souvent utilisée pour expliquer l'expansion de l'univers est celle du ballon que l'on gonfle. Evidemment c'est une représentation de ce qui se passe à 3 dimensions alors que la surface du ballon n'en a que 2 mais c'est une très bonne image, pourquoi ? Pour représenter l'univers que l'on suppose homogène et isotrope on peut utiliser une métrique comobile qui définit un temps universel on a donc un espace à 3 dimensions plus un temps indépendant. Maintenant sur la surface du ballon définissons un pavage (voir nota) avec des points centraux. Lorsque l'on gonfle le ballon, la distance entre les points augmentent mais le nombre de pavages qui les sépare ne change pas. De plus la vitesse d'éloignement entre les points est proportionnelle à la distance. C'est exactement ce que nous dit notre théorie de l'univers et que nos observations montrent. Toutefois l'analogie s'arrête là car la courbure observée de l'univers est pratiquement nulle donc très légèrement positive ou négative ou vraiment nulle (?).

Dans le cas de l'univers il faut rajouter ce que l'on appelle couramment l'énergie noire qui accélère l'expansion. Pour l'instant cette appellation est abusive car il s'agit tout simplement d'une deuxième constante dans les équations d'Einstein comme l'a montré le mathématicien Cartan. Des observations plus poussées nous dirons si elle varie dans le temps mais pour l'instant notre meilleur modèle la considère comme une vraie constante (et aucune mesure ne le contredit). Aucun calcul d'énergie d'un champ quelconque ou du vide ne rend compte de sa valeur.

Une représentation de la gravité qui est souvent utilisée c'est le drap tendu sur lequel on pose une masse sphérique. Ce dernier se déforme alors et si l'on jette une bille légère sur le drap celle-ci va suivre une courbe qui va définir une pseudo géodésique. En ce qui concerne l'idée de géodésique c'est une bonne image. Par contre en ce qui concerne l'espace/temps et la gravité c'est très insuffisant car une masse courbe l'espace et le temps ensemble (on ne peut pas définir un temps universel comme lorsque l'on analyse l'univers dans son ensemble). Le temps joue un rôle dans la courbure ainsi que l'espace et donc les phénomènes constatés sont dus à la combinaison des effets engendrés par la courbure de l'espace et du temps (par exemple : calcul de la déviation de la lumière par le soleil ou de l'avance du périhélie de Mercure).

On associe souvent à un objet quantique la notion d'onde/corpuscule. Dans l'expérience des fentes d'Young appliquée à des objets quantiques on s'amuse à fermer ou à ouvrir une des fentes : une fente fermée pas d'interférences, les 2 ouvertes "pan pan rataplan" interférences. Cela prouve-t-il que l'objet quantique est à la fois une onde et un corpuscule ? "Que nenni". Nos expériences montrent que l'objet quantique a une certaine probabilité d'arriver à un endroit de l'écran mais cela est dépendant du contexte car lors de son trajet l'objet quantique va interagir avec les objets quantiques de la source, puis du premier écran, puis du deuxième écran et avec son environnement, il va donc s'intriquer avec des tas d'objets quantiques et donc dans les 2 cas il ne se comporte pas de la même manière et des cohérences entre les objets quantiques vont se créer. En utilisant des cavités résonnantes derrière les fentes et des atomes excités on comprend bien le phénomène (voir mes autres billets). Mais cette image onde/corpuscule est très utile pour interpréter et analyser certains phénomènes en faisant l'impasse sur les multitudes d'interactions que l'objet quantique a en réalité. Ce qui est bluffant en mécanique quantique c'est qu'en inventant une histoire du type l'objet quantique a 2 états possibles : passage par le fente 1 ou passage par la fente 2, on explique l'expérience d'Young en une ou deux lignes de calcul élémentaire.

Une autre expérience de pensée dont on parle souvent en mécanique quantique est celle du chat de Schrödinger. Via un dispositif aléatoire basé sur des objets quantiques, un poison est libéré qui tue le chat enfermé dans une boite. Vu de l'observateur extérieur le chat peut-être vivant ou mort et la mécanique quantique nous dit que le chat est dans un état superposé de ces 2 états et que c'est lors de l'ouverture de la boite qu'un des états est choisi. Je n'ai jamais bien compris ce que cette expérience voulait prouver. Le chat est un objet macroscopique, si je veux qu'il reste vivant un certain temps avant que le dispositif ne se déclenche, il faut lui laisser de l'air et donc il va avoir comme tout objet macroscopique des myriades d'interactions avec son environnement (de plus il est pratiquement impossible d'arrêter le rayonnement cosmologique diffus des photons et des neutrinos). Dans ce cas le chat ne peut être que dans un seul état : vivant tant que le poison n'est pas libéré et mort une fois le poison libéré. Que montre cette expérience ?

Dans un livre de vulgarisation, un poisson quantique est montré éparpillé façon puzzle dans une mare. Lorsque le pécheur ferre le poisson, il se reconstitue. La mécanique quantique nous dit simplement que le poisson a une certaine probabilité de se trouver en un certain endroit, c'est tout. L'auteur ferait bien de relire ses classiques.

Une expérience de pensée qui me semble grotesque et qui est employée par Susskind, pourtant un grand théoricien et un excellent pédagogue, est celle-ci. Susskind intrique un nombre immense de particules 2 à 2. Il sépare les couples de plusieurs années lumière et forme avec chacun de ces 2 ensembles 2 trous noirs. Je ne veux même pas savoir ce qu'il en déduit, pour moi, même en pensée cette expérience est stupide. Une expérience de pensée doit avoir au moins un certain degré de réalité, là c'est de la fantasmagorie (cela me rappelle d'ailleurs le livre de vulgarisation de Thorne sur les trous de vers, une crise de delirium tremens, j'espère qu'il est guéri). Il parait aussi que Susskind dit que le fait que les cordes prévoient une particule du type graviton (donc engendrant la gravité) prouve que la théorie des cordes est juste. Je ne savais pas que l'inventeur de la théorie des cordes était Newton, il était vraiment en avance sur son époque.

Bon en conclusion, les expériences de pensée et les images c'est bien mais "l'eau ferrugineuse c'est mieux", donc à consommer avec modération et dans un cadre bien défini.

Nota : Un pavage correspond à couvrir une surface de petites surfaces identiques toutes contigües les unes aux autres (pas d'espace libre entre elles ni de recouvrement). En fonction de la surface le choix est souvent difficile (cela s'étend à des espace à n dimensions) et en fait c'est une branche ardue des mathématiques. Dans notre cas on suppose que l'on sait le faire.

On attribue à Everett l'interprétation de la mécanique quantique via une théorie des mondes multiples (Many-Worlds). Cette théorie explique que lors d'une mesure le monde se scinde en autant de mondes que de résultats de mesure chacun contenant un clone de l'opérateur.

En fait si on lit en détail la thèse d'Everett on s'aperçoit que cette interprétation ne vient pas de lui. C'est De Witt qui en s'appuyant sur la thèse d'Everett l'a introduite, certainement à cause de l'exemple donné en tout début de la thèse mais qui n'est pas représentatif des développements suivants. Pour Everett la mécanique quantique est une théorie purement statistique qui s'appuie sur la théorie de l'information de Shannon. Elle présente évidemment des caractéristiques particulières via l'introduction de la "fonction d'onde" dont le carré complexe donne une probabilité. On notera qu'Everett considère que toute interaction élémentaire peut être considérée comme une mesure. Ce qui veut dire que si l'on se réfère à l'interprétation Many-Worlds, lors de la mesure d'un spin 1/2 ce n'est pas 2 mondes séparés qui interviennent mais au moins 10 puissance 23 c'est à dire pratiquement un nombre égal au nombre d'atomes de l'aimant constituant l'appareil de mesure (souvent en mécanique quantique on traduit cette interaction par un champ macroscopique mais en fait c'est une approximation car l'interaction se fait réellement avec chacun des atomes). C'est beaucoup de mondes qui se séparent !

L'interprétation Many-Worlds est tout à fait compatible avec la mécanique quantique mais c'est plus une non interprétation un peu comme le fait d'arrêter la fameuse chaîne quantique de Von Neumann dans le cerveau de l'opérateur lors d'une mesure. Les interprétations statistiques présentent plusieurs avantages à condition de se baser simplement sur le postulat que les probabilités sont issues d'une fonction de probabilités complexe (voir mon billet à ce sujet). Elles permettent de se passer de tous les éléments folkloriques qui habillent souvent la mécanique quantique (onde/particule par exemple) car il ne faut pas confondre image commode et réalité. En fait nous ne savons pas ce qu'est réellement un objet quantique mais la mécanique quantique nous permet de comprendre son comportement ce qui est déjà plus que suffisant. Les interprétations nous permettent de nous référer au monde macroscopique et par là de construire des outils de mesure ou des composants technologiques utilisant les propriétés quantiques. Je ne pense pas qu'une interprétation type Many-Worlds soit très utile dans ce cas.

Le théorème de Bell est fondamental pour l'interprétation de la mécanique quantique. Toutefois j'ai vu une démonstration qui me parait vraiment fausse et elle est reprise par plusieurs auteurs. Ce qui a de plus surprenant c'est que Aspect (prix Nobel 2022 pour son expérience démontrant le résultat de Bell) la reprend à son compte mais il spécifie bien que c'est une démonstration naïve (naïf mais en fait faux, un peu bizarre, non ?). Tout d'abord le cas pris comme référence par Bell est difficile à traduire par une expérience donc il a fallu trouver un cas similaire qui est expérimentalement possible, c'est le fameux test CHSH (initiale des auteurs), test d'une inégalité vraie pour des théories à variables cachées locales et fausse dans certaines circonstances particulières en mécanique quantique.

Mais tout d'abord revenons à ce qui a déclenché chez Bell l'idée de son théorème. En 1935 Einstein, Podolsky et Rosen publient le fameux article dit EPR. Ils croient à la localité fer de lance de toutes les théories classiques et en particulier de la relativité. Ils ne remettent pas en question les résultats de la mécanique quantique mais pensent qu'ils proviennent d'une incomplétude de la théorie. Ses résultats s'expliquent du fait de variables inconnues qui produisent les effets constatés et en particulier le fait que la mécanique quantique utilise des probabilités ("Dieu ne joue pas aux dés" d'après Einstein). Ces variables inconnues qui agissent localement nous sont cachées. On pourrait dire que le fait que ces variables soient cachées et a priori indétectables n'apportent rien de plus à part de rassurer le trio EPR, par contre l'hypothèse de localité est mise à mal par le théorème de Bell qui ne s'en est aperçu qu'après avoir analysé plus finement les résultats de son théorème. Mais pour comprendre les idées du trio EPR le traitement d'un cas simple les met en évidence. Mettons deux boules dans une urne, l'une bleue, l'autre rouge. Si je tire une boule bleue je suis sûr de tirer ensuite une boule rouge et ce quel que soit l'instant qui sépare les deux tirages et même si je déplace l'urne à plusieurs années lumières après le premier tirage. Si un couple de photons est dans l'état de spin nul du type |1z, -1z> - |-1z, 1z>, la mesure de l'état du premier suivant l'axe Z donne automatiquement l'état du second (1 -> -1, -1 -> 1). Est-on dans le cas des boules rouge ou bleue ? C'est là que se situe le théorème de Bell. Pour cela il faut comparer les résultats obtenus dans les cas où l'on fait les mesure avec des angles a et a' pour le premier photon et b et b' pour le deuxième photon.

D'abord comme la mécanique quantique est supposée exacte, les résultats obtenues dans tous les cas sont plus 1 ou moins 1. Si l'on forme le nombre :

s = r1(a,u)r2(b,u) - r1(a,u)r2(b',u) + r1(a',u)r2(b,u) + r1(a',u)r2(b',u) = r1(a,u)(r2(b,u) - r2(b',u)) + r1(a',u)(r2(b,u) + r2(b',u))

où r représente le résultat d'une mesure suivant un angle donné et u potentiellement un paramétre décrivant l'ensemble des variables cachées associées aux photons, ce nombre s est automatiquement égal à 2 ou -2 que l'on considère ou pas des variables cachées. Dans le cas des dites variables, certains auteurs prennent la moyenne sur u de ce nombre et donc bien sur la valeur obtenue est inférieure ou égale à 2 en valeur absolue mais on a en aucun cas prouvé l'inégalité CHSH car cette moyenne ne veut tout simplement rien dire et en tout cas ne permet pas de comparaison entre une théorie à variables cachées et la mécanique quantique (même résultat pour les deux).

Reprenons donc le vrai calcul qui permet d'obtenir l'inégalité CHSH qui est :

|E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b')| < ou = 2 , E est la moyenne des résultats obtenus avec les angles entre parenthèses.

D'après EPR, les probabilités d'obtenir un résultat est indépendant de tout le reste donc :

E(a,b) = Intégrale(p(u)Somme(r1(a,u)r2(b,u)p1(r1,a,u)p2(r2,b,u))du) , où les p sont les probabilités indépendantes. On obtient après réarrangement des termes :

Somme(r1(a,u)r2(b,u)p1(a,u)p2(b,u)) = (p1(1,a,u) - p1(-1,a,u))(p2(1,b, u) - p2(-1, b, u)) = P1(a,u)P2(b,u) , ces 2 termes sont obligatoirement inférieur à 1 en valeur absolue (voir nota 1).

On peut donc écrire après réarrangement des termes : E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b') = Intégrale(p(u)(P1(a,u)(P2(b,u) -P2(b'u)) + P1(a',u)(P2(b,u) + P2(b',u)))du)

Ce n'est pas si évident que cela mais comme tous ces termes sont inférieurs à 1 en valeur absolue on a bien démontré l'inégalité CHSH (voir nota 2).

En projetant le vecteur de base |1z, -1z> - |-1z, 1z> dûment normalisé (facteur racine carrée de 2 devant les 2 termes) sur les angles a et b, calcul relativement simple en mécanique quantique, et en calculant ensuite les moyennes sur les couples d'angles, l'inégalité CHSH est violée pour certains angles (voir nota 3).

Les résultats de la mécanique quantique rejettent l'hypothèse EPR et une analyse fine montre que c'est la localité qui en est la cause. On peut toujours supposer des variables cachées non locales mais cela n'apporte rien. Beaucoup ont cherché des parades à ce théorème. Il en existe mais elles sont si tarabiscotés que le plus simple est de les rejeter. La mécanique quantique a fait plus que ses preuves depuis plus de 100 ans et admettre sa non localité est plus simple que de se torturer l'esprit (même si cela contrarie notre entendement de la nature) et explique simplement tous les résultats obtenus sans contredire la relativité car tout échange d'information entre "opérateurs" ne peut se faire plus vite que la lumière même en essayant d'utiliser l'intrication et sa non localité.

Nota 1 : cette somme peut être considérée comme un coefficient de corrélation -> C(a,b) = p1(1,a)p2(1,b) + p1(-1,a)p2(-1,b) - p1(1,a)p2(-1,b) - p1(-1,a)p2(1,b) qui dans notre cas dépend de u. On peut écrire -> P1(a,u) = 1 - (2 x p1(-1,a,u)) ce qui montre que P1 varie de façon continue et linéaire de moins 1 à plus 1 (idem pour P2(b,u)).

Nota 2 : le terme pris en moyenne sur u prend ses valeurs extrèmes (+ 2 ou - 2) quand par exemple - > P1(a,u) = + 1 ou - 1 , P2(b,u) = + 1 , P2(b'u) = - 1 mais d'autres cas sont possibles.

Nota 3 : on prend a, a', b, b' dans le même plan passant par Z avec les valeurs suivantes des angles: (a,b) = (b,a') = (a',b') = (1/3) (a,b') = m , l'application de la mécanique quantique donne alors -> CHSH = |cos(6m) - 3 cos(2m)| qui pour m = 22.5° donne CHSH = 2.7 . C'est le fait que en mécanique quantique les probabilités dépendent des angles qui différencie ses résultats par rapport à ceux des hypothèses EPR (p(r, a, u) et non pas p(r, a, b, u)). C'est pourquoi les nouvelles expériences mettant en évidence le théorème de Bell modifient de manière aléatoire les angles, cette modification ayant lieu pendant le temps de vol des photons.